Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）= （a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在 上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值；

（Ⅲ）若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）；(2) 函數(shù)f（x）在 上無(wú)零點(diǎn)，則a的最小值為2﹣4ln2；（3）a的范圍是.

【解析】試題分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；

（Ⅱ）f（x）＜0時(shí)不可能恒成立，所以要使函數(shù)在（0， ）上無(wú)零點(diǎn)，只需要對(duì)x∈（0， ）時(shí)f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)的最大值即可得到a的最小值；

（Ⅲ）求出g′（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出g（x）的值域，而當(dāng)a=2時(shí)不合題意；當(dāng)a≠2時(shí)，求出f′（x）=0時(shí)x的值，根據(jù)x∈（0，e]列出關(guān)于a的不等式得到①，并根據(jù)此時(shí)的x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到②和③，令②中不等式的坐標(biāo)為一個(gè)函數(shù)，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，聯(lián)立①和④即可解出滿足題意a的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣，

由f′（x）＞0，得x＞2；

由f′（x）＜0，得0＜x＜2．

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）；

（2）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間上恒成立不可能，

故要使函數(shù)上無(wú)零點(diǎn)，

只要對(duì)任意的，f（x）＞0恒成立，即對(duì)恒成立．

令，則，

再令，

則，故m（x）在上為減函數(shù)，于是，

從而，l（x）＞0，于是l（x）在上為增函數(shù)，所以，

故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

綜上，若函數(shù)f（x）在 上無(wú)零點(diǎn)，則a的最小值為2﹣4ln2；

（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．

又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee1﹣e＞0，

所以，函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．

當(dāng)a=2時(shí)，不合題意；

當(dāng)a≠2時(shí)，f′（x）=，x∈（0，e]

當(dāng)x=時(shí)，f′（x）=0．

由題意得，f（x）在（0，e]上不單調(diào)，故，即①

此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，）		（，e]
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	最小值	↗

又因?yàn)�，�?dāng)x→0時(shí)，2﹣a＞0，f（x）→+∞，

，

所以，對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），

使得f（xi）=g（x0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足下列條件：

即

令h（a）=，

則h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，

故當(dāng)a∈（﹣∞，0）時(shí)，h′（a）＞0，函數(shù)h（a）單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，h′（a）＜0，函數(shù)h（a）單調(diào)遞減．

所以，對(duì)任意，有h（a）≤h（0）=0，

即②對(duì)任意恒成立．

由③式解得：．④

綜合①④可知，當(dāng)a的范圍是 時(shí)，對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立．