【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx(a∈R).

(1)當a=時,求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值;

(2)如果函數(shù)g(x),f1x),f2(x),在公共定義域D上,滿足f1x)<gx)<f2(x),那么就稱g(x)為f1x),f2(x)的“活動函數(shù)”.已知函數(shù). 若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)是f1x),f2(x)的“活動函數(shù)”,求a的取值范圍.

【答案】(1) (2)a的范圍是 .

【解析】試題分析:(1)由題意得 f(x)=x2+lnx, f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù),即可求出函數(shù)的最值.

(2)由題意得:令 fx f2x= ,對x1,+∞)恒成立,且h(x)=f1xfx=對x1,+∞)恒成立, 分類討論當 時兩種情況求函數(shù)的最大值,可得到a的范圍.又因為h′(x)=﹣x+2a=,

h(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),可得到a的另一個范圍,綜合可得a的范圍.

試題解析:

(1)當 時,,;

對于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù),

,

(2)在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)是f1(x),f2(x)的“活動函數(shù)”,則f1(x)<f(x)<f2(x)令 <0,對x∈(1,+∞)恒成立,

且h(x)=f1(x)﹣f(x)=<0對x∈(1,+∞)恒成立,

,令p′(x)=0,得極值點x1=1,,

當x2>x1=1,即 時,在(x2,+∞)上有p′(x)>0,

此時p(x)在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合題意;

當x2<x1=1,即a≥1時,同理可知,p(x)在區(qū)間(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合題意;

,則有2a﹣1≤0,此時在區(qū)間(1,+∞)上恒有p′(x)<0,

從而p(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù);

要使p(x)<0在此區(qū)間上恒成立,只須滿足

所以 ≤a≤

又因為h′(x)=﹣x+2a﹣=<0,h(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),

h(x)<h(1)=+2a≤0,所以a≤

綜合可知a的范圍是[,].

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