Question

15．已知函數(shù)f（x）=x|x-2|，
（1）作出函數(shù)的簡圖，寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在閉區(qū)間[0，a]上最大值；
（3）若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，請直接寫出m、n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化絕對值函數(shù)為分段函數(shù)，畫圖即可，并由圖得到單調(diào)區(qū)間，
（2）需要分類討論，根據(jù)a的范圍求出最值，
（3）由圖象直接得到m，n的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，
由圖象可知，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）∪（2，+∞）；
（2）f（x）在閉區(qū)間[0，a]上最大值，
當(dāng)a≤1，f（x）_max=f（a）=-a²+2a，
令x²-2x=1，解得x=1+$\sqrt{2}$，
當(dāng)1＜a≤1+$\sqrt{2}$時，f（x）_max=f（1）=1，
當(dāng)a＞1+$\sqrt{2}$時，f（x）_max=f（a）=a²-2a；
（3）由圖象可知，函數(shù)f（x）在開區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，
則0＜m＜1，2＜n＜1+$\sqrt{2}$，

點評 本題考查了函數(shù)圖象的識別和畫法，以及分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．