Question

5．設(shè)a＞0，解不等式$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1．

Answer 1

分析 將不等式進(jìn)行平方，討論a的取值范圍進(jìn)行求解即可．

解答 解：由$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1得$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤ax+1，
即ax+1≥$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥1，
則ax≥0，
∵a＞0，
∴x≥0，
∴（ax+1）²≥x²+1，
即（a²-1）x²+2ax≥0，即x[（a²-1）x+2a]≥0．
當(dāng)a=1時(shí)，上式變?yōu)?ax≥0，即x≥0，不等式的解集為{x|x≥0}．
當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，解得0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$，不等式的解集為{x|0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$}．
當(dāng)a＞1時(shí)，解得 x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$（舍）或x≥0，不等式的解集為{x|x≥0}
綜上當(dāng)a≥1時(shí)，不等式的解集為{x|x≥0}
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根式不等式、一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．