Question

從橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點P向X軸作垂線，垂足恰為左焦點F₁．A，B分別是橢圓的右頂點和上頂點，且OP∥AB，|F₁A|=

6

+

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓O：x²+y²=2的切線l與橢圓C相交于A，B兩點，問以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點的坐標(biāo)；否則，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）x=c代入橢圓方程求得y，進而求得|PF|，根據(jù)OP∥AB，PF∥OB推斷出△PFO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得b和c的關(guān)系，可得a和c的關(guān)系，結(jié)合a+c=

6

+

3

，即可求橢圓C的方程；
（2）先求得直線l的斜率不存在及斜率為0時圓的方程，由此可得兩圓所過公共點為原點O，當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理、向量數(shù)量積可得

OA

•

OB

的表達(dá)式，再根據(jù)線圓相切可得k，m的關(guān)系式，代入上述表達(dá)式可求得

OA

•

OB

=0，由此可得結(jié)論

解答： 解：（1）由已知，|F₁A|=

6

+

3

，
∴a+c=

6

+

3

，
把x=c代入橢圓方程求得y=±

b2

a

，
∴|PF|=

b2

a

，
∵OP∥AB，PF∥OB
∴△PFO∽△ABO
∴

b2

a c

=

b

a

，
求得b=c
∴a=

6

，b=

3

∴橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1；    …（5分）
（2）當(dāng)切線與x軸垂直時，l：x=±

2

，
橢圓中，令l：x=±

2

，得y=±

2

，
∴以AB為直徑的圓的方程為（x±

2

）²+y²=2，兩圓唯一的公共點為（0，0）；…（8分）
當(dāng)切線與x軸不垂直時，可設(shè)切線的方程為；y=kx+m
聯(lián)立方程x²+2y²=6，得（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-3）=0
由直線與圓相切得，

|m|

1+k2

=

2

，即m²=2（1+k²）…（10分）
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-3)

1+2k2

，

OA • OB =x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2) 2(m2-3) 1+2k2 - 4k2m2 1+2k2 +m2 1+2k2 1+2k2 = 3(m2-2k2-2) 1+2k2

∵m²=2（1+k²），∴m²-2k²-2=0，∴

OA

•

OB

=0
即以AB為直徑的圓過（0，0）．
綜上得，以AB直徑的圓經(jīng)過定點（0，0）．…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程、圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運算，考查學(xué)生解決問題的能力．