Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=t＞0，且a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若t=$\frac{3}{5}$，證明：{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比數(shù)列并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n+1＞a_n對(duì)一切n∈N^*都成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征，得到a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，化簡(jiǎn)整理得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），當(dāng)t=$\frac{3}{5}$時(shí)，得到{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{2}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式．
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n+1＞a_n對(duì)一切n∈N^*都成立，得到$\frac{1}{t}$-1＜3（$\frac{1}{t}$-1），解得即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+1=f（a_n），f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，
∴a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∵a₁=t=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{2}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+2}$
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∵a₁=t，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{t}$-1
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{1}{t}$-1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=（$\frac{1}{t}$-1）（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}+（\frac{1}{t}-1）}$，
∵a_n+1＞a_n對(duì)一切n∈N^*都成立，
∴$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+（\frac{1}{t}-1）}$＞$\frac{{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}+（\frac{1}{t}-1）}$，
∴$\frac{1}{t}$-1＜3（$\frac{1}{t}$-1），
解得0＜t＜1
故t的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列恒成立，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及推理論證能力，屬中檔題