Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：x+2y=0（x≥0），過點P（1，0）作直線分別交射線OA，OB于點A，B，AB的中點為P．
（1）求直線AB的方程；
（2）過點C（6，-1）作直線l，使得A，B兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A在射線OA上，設(shè)A（a，a），根據(jù)P為線段AB中點，利用中點坐標(biāo)公式變形出B坐標(biāo)，代入射線OB解析式求出a的值，確定出A與B坐標(biāo)，即可求出直線AB解析式．
（2）當(dāng)AB∥直線l時，用點斜式求得直線l的方程；直線l經(jīng)過線段AB的中點P（1，0），則由兩點式求得直線l（即直線CP）的方程，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：x+2y=0（x≥0），
過點P（1，0）作直線分別交射線OA，OB于點A，B，AB的中點為P．
設(shè)A（a，a），∵A、B的中點為P，∴B（2-a，-a），
將B代入射線OB解析式得：（2-a）+2×（-a）=0，
解得：a=$\frac{2}{3}$，∴A（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），B（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$），P（1，0）
則直線AB為：$\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}$=$\frac{x-\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{4}{3}}$，即2x+y-2=0．
（2）過點C（6，-1）作直線l，使得A，B兩點到直線l的距離相等，
若AB∥直線l，則直線l的斜率為K_AB =-2，
故直線l的方程為y+1=-2（x-6），即 2x+y-11=0．
若直線l經(jīng)過線段AB的中點P（1，0），則由兩點式求得直線l（即直線CD）的方程為$\frac{y-0}{-1-0}$=$\frac{x-1}{6-1}$，
即 x+5y-1=0．
綜上可得，要求的直線l的方程為2x+y-11=0 或x+5y-1=0．

點評 此題考查了點到直線的距離公式，線段中點坐標(biāo)公式，以及兩直線的交點坐標(biāo)，用點斜式和兩點式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．