Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x （a∈R）
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)x∈[a²，a]時，求函數(shù)y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a．
（2）求出0＜a＜1，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出f（x）在[a²，a]上的最大值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x （a∈R），所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
所以${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，（2分）
因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，即f′（1）=-（2-1）（a+1）=0，解得a=-1，（3分）
當(dāng)a=-1 時，在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)，f′（x）＜0，在（1，+∞）內(nèi)，f′（x）＞0，
所以f（x）在x=1處取得極小值，符合題意．
所以a=-1．（5分）
（2）因?yàn)?{a}^{2}，所以0＜a＜1，（7分）
${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，
 因?yàn)閤∈（0，+∞），所以ax+1＞0，
所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減．（8分）
當(dāng)0＜a$≤\frac{1}{2}$時，f（x）在[a²，a]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（a）=lna-a³+a²-2a，（9分）
當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）在（a²，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}，a$）上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{a}{4}$+$\frac{a-2}{2}$=$\frac{a}{4}-1-ln2$，（10分）
當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{2}≤a＜1$時，f（x）在[a²，a]上單調(diào)遞減，
所以$f（x）_{max}=f（{a}_{2}）=2lna-{{a}_{\;}}^{5}+{{a}^{3}}_{\;}-2{{a}^{2}}_{\;}$，（11分）
綜上所述，當(dāng)0＜a$≤\frac{1}{2}$時，f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）在[a²，a]上的最大值是$\frac{a}{4}-1-ln2$；
當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{2}≤a＜1$時，f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．（12分）

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法和函數(shù)在閉區(qū)間的上的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．