Question

直線l：y=2x+b與拋物線C：y=

1

2

x²相切于點A，
（1）求實數(shù)b的值
（2）求以點A為圓心且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,圓的標(biāo)準方程,圓的切線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）把直線l：y=2x+b與拋物線C：y=

1

2

x²聯(lián)立，因為直線與拋物線相切，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的判別式△=0即可得出；
（2）求出A的坐標(biāo)，拋物線C：y=

1

2

x²的準線，可得半徑，即可求以點A為圓心且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

解答： 解：（1）聯(lián)立直線l：y=2x+b與拋物線C：y=

1

2

x²，化為x²-4x-2b=0．（*）
∵直線l與拋物線C相切，∴△=（-4）²-4×（-2b）=0，解得b=-2；
（2）代入方程（*）即為x²-4x+4=0，解得x=2，y=2，
故點A（2，2），
拋物線C：y=

1

2

x²的準線為y=-

1

2

，
∵圓以點A為圓心且與拋物線C的準線相切，
∴半徑為2.5，
∴圓的方程為（x-2）²+（y-2）²=6.25．

點評：本題考查了直線與拋物線相切轉(zhuǎn)化為方法聯(lián)立利用△=0解決問題，屬于基礎(chǔ)題．