Question

14．如圖，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過點(diǎn)A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F
（1）求證：AE⊥平面SBC；
（2）求證：SC⊥AF；
（3）判斷直線BC是否平行于平面AEF，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中過A作SB的垂線，垂足為E，由線面垂直的判定定理可得AE⊥面SBC，
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，進(jìn)而AE⊥SC，再由已知中，過E作SC的垂線，垂足為F，由線面垂直的判定定理可得SC⊥面AEF，最后由線面垂直的性質(zhì)得到AF⊥SC．
（3）設(shè)BC∥平面AEF，可得BC∥EF，由EF⊥SC，可證BC⊥SC，可證BC⊥平面SAC，AC?平面SAC，從而證明BC⊥AC，這與AB⊥BC矛盾，從而證明直線BC不平行于平面AEF．

解答 證明：（1）∵AE⊥BC，AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥面SBC．
（2）由（1）得AE⊥面SBC，
∵SC?面SBC，
故AE⊥SC．
又∵AE⊥SC，EF⊥SC，且AE∩EF=E，
∴SC⊥面AEF，
∵AF?面AEF，
故AF⊥SC．
（3）直線BC不平行于平面AEF，
證明如下（反證法）：設(shè)BC∥平面AEF，
∵平面SCB∩平面AEF=EF，
∴BC∥EF，
∵EF⊥SC，
∴BC⊥SC，
又∵BC⊥SA，SA∩SC=S，
∴BC⊥平面SAC，AC?平面SAC，
∴BC⊥AC，
∴△ABC中，與AB⊥BC矛盾．
故直線BC不平行于平面AEF．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，熟練掌握直線與直線垂直及直線與平面垂直之間的辯證關(guān)系及轉(zhuǎn)化方法，是解答本題的關(guān)鍵．