Question

3．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，其俯視圖所示：則下列命題中正確的是（　�。�

• A． 四棱錐四個側(cè)面中不存在兩組側(cè)面互相垂直
• B． 四棱錐的四個側(cè)面可能全是直角三角形
• C． 若該四棱錐的左視圖為直角三角形，則體積為$\frac{4}{3}$
• D． 若該四棱錐的正視圖為等腰三角形，則四棱錐的側(cè)面積為6+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 作出棱錐的直觀圖，根據(jù)各選項的條件通過計算或證明進行判斷．

解答 解由俯視圖可知四棱錐的頂點P在底面的射影為BD的中點O，
（1）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥BC，
又BC⊥CD，CD，PO?平面PCD，CD∩PO=O，
∴BC⊥平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD．故A錯誤．
（2）由BC⊥平面PCD可得BC⊥PC，
∴PB≠PC．
∵PC=PD，PA=PC，
∴若三棱錐的四個側(cè)面為直角三角形，則PC⊥PD，PA⊥PB，又AB=CD，
∴PB=PC=$\sqrt{2}$，與PB≠PC矛盾．故B錯誤．
（3）若棱錐的左視圖為直角三角形，則△PCD是直角三角形，
∴PC=PD=$\sqrt{2}$，∴PO=$\frac{1}{2}CD$=1，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PO$=$\frac{4}{3}$．故C正確．
（4）若四棱錐的正視圖為等腰三角形，則PO=BC=2，
∴PC=PD=$\sqrt{5}$，∴S_△PCD=$\frac{1}{2}CD×PO$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
S_△PBC=S_△PAD=$\frac{1}{2}BC×PC$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$．
過P作PM⊥AB于M，則M為AB的中點，連結(jié)OM，則OM=BC=2，
∴PM=$\sqrt{P{O}^{2}+O{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}AB×PM$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴四棱錐的側(cè)面積為2+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，故D錯誤．
故選C．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的三視圖，位置關(guān)系判斷和體積計算，屬于中檔題．