Question

13．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（4+x）=f（4-x），且當(dāng)x≤4時，f（x）=$\frac{1}{4}$•2^x．
（1）求當(dāng)x＞4時，函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=f（n）．求a_n的表達(dá)式．并求$\underset{lim}{n→∞}$a_n的值；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的表達(dá)式．并求$\underset{lim}{n→∞}$S_n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）關(guān)于直線x=4對稱，可得f（x）=f（8-x），由當(dāng)x≤4時，f（x）的解析式，可得x＞4時，8-x＜4，代入即可得到所求解析式；
（2）運(yùn)用分段形式寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，由極限公式即可得到所求值為0；
（3）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求和；再由常見數(shù)列的極限公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）由函數(shù)y=f（x）滿足f（4+x）=f（4-x），
可得f（x）關(guān)于直線x=4對稱，
由當(dāng)x≤4時，f（x）=$\frac{1}{4}$•2^x=2^x-2；
可得x＞4時，8-x＜4，有f（8-x）=$\frac{1}{4}$•2^8-x，
則f（x）=f（8-x）=2^6-x（x＞4）；
（2）a_n=f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-2}，n=1，2，3，4}\\{{2}^{6-n}，n＞4，n∈N}\end{array}\right.$，
則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{2}^{6}}{{2}^{n}}$=0；
（3）前n項(xiàng)和為S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a_n=$\frac{1}{2}$+1+2+4+2+1+…+2^6-n=$\frac{15}{2}$+$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n-4}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{23}{2}$-$\frac{4}{{2}^{n-4}}$，
則$\underset{lim}{n→∞}$S_n=求$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{23}{2}$-$\frac{4}{{2}^{n-4}}$）=$\frac{23}{2}$-0=$\frac{23}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的解析式的求法，同時考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列極限的求法，注意運(yùn)用常見數(shù)列的極限，屬于中檔題．