空間不共面的四點(diǎn)A、B、C、D依次到平面α的距離之比是2:2:2:3,則滿(mǎn)足條件的平面α的個(gè)數(shù)為
8
8
個(gè).
分析:根據(jù)幾何體的頂點(diǎn)在平面α兩側(cè)還是同側(cè)兩種情況討論,而在平面α兩側(cè)時(shí)又分兩類(lèi)進(jìn)行討論,即平面α一側(cè)有一點(diǎn),另一側(cè)有三點(diǎn)與平面一側(cè)有兩點(diǎn),另一側(cè)有兩點(diǎn)兩類(lèi),再把所有結(jié)果綜合在一起得到答案.
解答:解:因?yàn)榭臻g四點(diǎn)不共面,所以四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐,
當(dāng)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在平面α的同側(cè)時(shí),α只有一個(gè);
當(dāng)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)分別處在平面α的兩側(cè)時(shí),由兩種情況:
①當(dāng)平面α一側(cè)有一點(diǎn),另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí),使截面與三棱錐的四個(gè)面之一平行,第四個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)截面的距離與其相對(duì)的面到此截面的距離之比為2:3,這樣的平面α有4個(gè);
②當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn),另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí),
舉例說(shuō)明:A、B與C、D分別在平面α的兩側(cè)時(shí),取CA、CB的中點(diǎn)P、Q,在DA、DB上取點(diǎn)S、R,使
DS
AS
=
DR
BR
=
3
2
,則確定平面PQRS就是α,
則滿(mǎn)足條件的平面共有3個(gè).
所以由以上可得滿(mǎn)足條件的平面共有8個(gè).
故答案為8.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查空間中點(diǎn)與平面的位置關(guān)系的問(wèn)題,由于四點(diǎn)不共面所以把四個(gè)點(diǎn)抽象為三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn),再結(jié)合幾何體的特征進(jìn)行分類(lèi)討論得到答案,考查了學(xué)生的分類(lèi)討論思想和空間想象能力.
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[  ]

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D.8

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