Question

16．已知f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{1}{2}$mx-$\frac{1}{x}$+m-1（m為整數(shù)）
（1）求曲線y=f（x）在點（$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論m≥0，m＜0，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
可得在點（$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$））處的切線斜率為f′（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1-（-1）}{\frac{1}{{e}^{2}}}$=2e²，
切點為（$\frac{1}{e}$，-e），可得切線的方程為y+e=2e²（x-$\frac{1}{e}$），
即為y=2e²x-3e；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$mx-$\frac{1}{x}$+m-1的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)m≥0時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)m＜0時，由g′（x）＜0，可得x＞$\sqrt{\frac{-2}{m}}$或x＜-$\sqrt{\frac{-2}{m}}$．
綜上可得，m≥0時，g（x）無減區(qū)間；
m＜0時，單調(diào)減區(qū)間為（$\sqrt{\frac{-2}{m}}$，+∞），（-∞，-$\sqrt{\frac{-2}{m}}$）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．