Question

16．已知直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+t•cosα}\\{y=\frac{1}{2}+t•sinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ．
（1）求直線C₁的一般式方程和圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線C₁與圓C₂相交于A、B兩點(diǎn)，圓心角∠AC₂B最小時(shí)，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+t•cosα}\\{y=\frac{1}{2}+t•sinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程；圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ，即ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）由于直線C₁經(jīng)過定點(diǎn)P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，可知：當(dāng)C₂P⊥直線C₁時(shí)，圓心角∠AC₂B最小，利用勾股定理及其弦長公式即可得出．

解答 解：（1）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+t•cosα}\\{y=\frac{1}{2}+t•sinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得$y-\frac{1}{2}$=$（x-\frac{1}{2}）tanα$；
圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ，即ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，化為x²+y²=2x+2y，配方為：（x-1）²+（y-1）²=2，可得圓心C₂（1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．
（2）由于直線C₁經(jīng)過定點(diǎn)P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
可知：當(dāng)C₂P⊥直線C₁時(shí)，圓心角∠AC₂B最小，
此時(shí)|C₂P|=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-|{C}_{2}P{|}^{2}}$=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、垂經(jīng)定理、勾股定理及其弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．