Question

8．某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖（1）；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）

（1）分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的模型設(shè)出函數(shù)解析式，從兩個圖中分別找出特殊點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出兩個函數(shù)解析式．
（2）將企業(yè)獲利表示成對產(chǎn)品B投資x的函數(shù)；令$\sqrt{10-x}=t$，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出對稱軸，求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）設(shè)投資為x萬元，A產(chǎn)品的利潤為f（x）萬元，B產(chǎn)品的利潤為g（x）萬元，
由題意知f（x）=k₁x，$g（x）={k_2}\sqrt{x}$，…（2分）
由圖可知f（2）=1，${k_1}=\frac{1}{2}$，g（4）=4，k₂=2…（4分）
從而$f（x）=\frac{1}{2}x\;\;（x≥0）$，$g（x）=2\sqrt{x}\;\;（x≥0）$…（6分）
（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元，則B產(chǎn)品投入（10-x）萬元，設(shè)企業(yè)利潤為y萬元．
則$y=f（x）+g（10-x）=\frac{1}{2}x\;+\;2\sqrt{10-x}（0≤x≤10）$，…（8分）
令$\sqrt{10-x}=t$，則$y=\frac{{10-{t^2}}}{2}+2t=-\frac{1}{2}{（t-2）^2}+7（0≤t≤\sqrt{10}）$，…（10分）
當(dāng)t=2時，y_max=7，此時x=10-4=6（萬元）
所以當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬元，B產(chǎn)品投入4萬元時，企業(yè)獲得最大利潤為7萬元…（12分）

點(diǎn)評 本題考查將實(shí)際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數(shù)的最值與對稱軸有關(guān)．