Question

6．己知△ABC的一條內(nèi)角平分線CD所在直線的方程為3x+y=0，兩個(gè)頂點(diǎn)為A（1，2），B（-4，2）．
（1）求第三個(gè)頂點(diǎn)C；
（2）求△ABC的外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)CD平分∠ACB得出cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CO}$＞=cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CO}$＞，列出方程解出．
（2）使用待定系數(shù)法解出．

解答 解：（1）∵C在直線3x+y=0上，不妨設(shè)C（x，-3x），則$\overrightarrow{CA}$=（1-x.2+3x），$\overrightarrow{CB}$=（-4-x，2+3x），$\overrightarrow{CO}$=（-x，3x）．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CO}$=-x（1-x）+3x（2+3x）=10x²-5x，$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CO}$=-x（-4-x）+3x（2+3x）=10x²+10x，
∵直線3x+y=0平分∠ACB，∴cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CO}$＞=cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CO}$＞，即$\frac{10{x}^{2}-5x}{\sqrt{（1-x）^{2}+（2+3x）^{2}}}$=$\frac{10{x}^{2}+10x}{\sqrt{（4+x）^{2}+（2+3x）^{2}}}$，
解得x=0，∴C（0，0）．
（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{5+D+2E+F=0}\\{20-4D+2E+F=0}\\{F=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{D=3}\\{E=-4}\\{F=0}\end{array}\right.$．
∴△ABC的外接圓的方程是x²+y²+3x-4y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求圓的方程，直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．