Question

定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數(shù)”為

n

x1+x2+…+xn

（n∈N^*），已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為

1

2n+4

．
（Ⅰ）記c_n=

an

n+1

（n∈N^*），試比較c_n與c_n+1的大��；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0對(duì)任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁+a₂+…+a_n=2n²+4n，從而a_n=4n+2．由此得到c_n=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

，c_n＜c_n+1．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0對(duì)任意n∈N^*恒成立，由此能求出存在最大的實(shí)數(shù)λ=1符合題意．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為

1

2n+4

，
∴

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+4

，
∴a₁+a₂+…+a_n=2n²+4n，①
a₁+a₂+…+a_n-1=2（n-1）²+4（n-1），②
①-②，得：a_n=4n+2．
∵c_n=

an

n+1

（n∈N^*），
∴c_n=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

，c_n+1=4-

2

n+2

，
∴c_n＜c_n+1．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，
f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0對(duì)任意n∈N^*恒成立，
則-x²+4x≤

an

n+1

對(duì)任意n∈N^*都成立，
-x²+4x≤(

an

n+1

)min=

a1

1+1

=3，
得x²-4x+3≥0，有x≤1或x≥3．
故存在最大的實(shí)數(shù)λ=1符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)大小的比較，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．