Question

已知F₁、F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，以F₁P為直徑的圓經(jīng)過(guò)F₂，

PF1

•

PF2

=

1

16

a2．直線l經(jīng)過(guò)F₁，與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)₂與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成△ABF₂．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）設(shè)△F₁PF₂的周長(zhǎng)為2+

3

，求△ABF₂的面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，F(xiàn)₂P⊥x軸，利用

PF1

•

PF2

=

1

16

a2，可得|F₁P|=

7

4

a，結(jié)合勾股定理，即可求橢圓E的離心率；
（2）根據(jù)△F₁PF₂的周長(zhǎng)為2+

3

，求出橢圓的方程，設(shè)出AB方程代入橢圓方程，整理，利用韋達(dá)定理，表示出三角形的面積，換元，即可求△ABF₂的面積S的最大值．

解答： 解：（1）由題意，F(xiàn)₂P⊥x軸，
∵

PF1

•

PF2

=

1

16

a2，
∴由向量的數(shù)量積公式可得|F₂P|=

a

4

，
∴|F₁P|=

7

4

a，
∴（

7

4

a）²=（

a

4

）²+（2c）²，
∴e=

c

a

=

3

2

，
（2）∵△ABF₂的周長(zhǎng)為2+

3

，
∴2a+2c=2+

3

，
∵

c

a

=

3

2

，
∴a=1，c=

3

2

，
∴b=

1

2

，
∴橢圓的方程為x2+

y2

1 4

=1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
斜率不存在時(shí)，方程為x=-

3

2

，∴△ABF₂的面積為

3

4

，．
斜率存在時(shí)，設(shè)AB方程為y=k（x+

3

2

），
代入橢圓方程，整理可得（1+4k²）x²+4

3

k²x+3k²-1=0，
∴x₁+x₂=-

4 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

3k2-1

1+4k2

，
∴△ABF₂的面積為S=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

3

•

k2+1

1+4k2

•|k|，
令t=k²+1（t≥1），則S²=

3t(t-1)

(4t-3)2

，
令m=4t-3（m≥1），則S²=-

9

16

(

1

m

-

1

3

)2+

1

4

當(dāng)且僅當(dāng)m=3，即k=±

2

2

時(shí)取等號(hào)，
∴△ABF₂的面積的最大值為

1

2

．
綜上，△ABF₂的面積的最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．