Question

6．已知橢圓M：x²+2y²=2．
（Ⅰ）求橢圓M的離心率；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標原點，A，B，C為橢圓M上的三個動點，若四邊形OABC為平行四邊形，判斷△ABC的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓M化為標準方程，由此能求出橢圓M的離心率．
（Ⅱ）若B是橢圓的右頂點（左頂點一樣），此時AC垂直平分OB，求出△OAC的面積為$\frac{\sqrt{6}}{4}$；若B不是橢圓的左右頂點，設(shè)AC：y=kx+m，k≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-20=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式求出△ABC的面積，從而得到△ABC的面積為定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓M：x²+2y²=2，
∴橢圓M的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴橢圓M的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）①若B是橢圓的右頂點（左頂點一樣），此時AC垂直平分OB，
∴A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\sqrt{2}$，0），
|AC|=$\sqrt{3}$，|OB|=$\sqrt{2}$，
∴△OAC的面積${S}_{△OAC}=\frac{1}{2}|AC|•\frac{1}{2}|OB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．
②若B不是橢圓的左右頂點，設(shè)AC：y=kx+m，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-20=0，
△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{2{k}^{2}+1}$，
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴OB=OA+OC=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{2m}{2{k}^{2}+1}$），
∴B（-$\frac{4km}{2{k}^{2}+12}$，$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$），
代入橢圓方程，化簡，得2k²+14=m²，
∵|AC|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}）^{2}-\frac{4（2{m}^{2}-2）}{2{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{22}•\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{\sqrt{6}•\sqrt{1+{k}^{2}}}{2|m|}$，
點O到直線AC的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴△OAC的面積S_△OAC=$\frac{1}{2}|AC|d$
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}}{2|m|}×\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
綜上，△OAC的面積為定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∵△OAC的面積=△ABC的面積，
∴△ABC的面積為定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，考查三角形的面積是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．