Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． a＜1
• B． a＜2
• C． a≤2
• D． a≤3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，已知f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)，即f′（x）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，對(duì)于恒成立往往是把字母變量放在一邊即參變量分離，另一邊轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值，即可求解．

解答 解：∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{x+1}$-lnx，
∴f′（x）=$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）=$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$≤0恒成立．
即2a≤x+$\frac{1}{x}$+2恒成立．
∵x∈[1，+∞）時(shí)，x+$\frac{1}{x}$+2≥4，
∴2a≤4，
∴a≤2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題，解題的關(guān)鍵將題目轉(zhuǎn)化成f′（x）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立進(jìn)行求解，同時(shí)考查了參數(shù)分離法，屬于中檔題．