Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，[ln（x+1）]′=$\frac{1}{x+1}$．
（1）求f（x）的最值；
（2）設(shè)g（x）=e^x-x-f（x）的圖象上有三點A、B、C，它們對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂、x₃，已知x₁、x₂、x₃均大于0，且x₁、x₂、x₃構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，比較|AB|與|BC|的大小；
（3）求證：$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3（\sqrt{e}）^{3}}$+…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{4}{e-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，即可得到最值；
（2）先求出|AB|²和|BC|²的解析式，比較|AB|和|BC|大小，只需比較y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．作差并利用基本不等式可得y₂-y₁＜y₃-y₂，從而|AB|＜|BC|成立；
（3）由（1）可得ln（1+x）≤x，x=0時，取得等號．即有e^x＞1+x，x＞0，令x=$\frac{n}{2}$，可得${e}^{\frac{n}{2}}$＞1+$\frac{n}{2}$，即n${e}^{\frac{n}{2}}$＞n（1+$\frac{n}{2}$），則$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，再由裂項相消求和，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{1+x}$（x＞-1），
當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減；當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）遞增．
即有f（x）在x=0處取得極大值，也為最大值，且為0，無最小值；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，|BC|²=（x₃-x₂）²+（y₃-y₂）²，
又g（x）=e^x-x-f（x）=e^x-ln（1+x），g′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，
當(dāng)x＞0時，e^x＞1，0＜$\frac{1}{x+1}$＜1，即有f′（x）＞0，f（x）在x＞0為增函數(shù)，
∴y₂＞y₁，y₃＞y₂．∴比較|AB|和|BC|大小，只需比較y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．
由y₂-y₁-（y₃-y₂）=2y₂-（y₁+y₃）=2[${e}^{{x}_{2}}$-ln（1+x₂）]-[${e}^{{x}_{1}}$-ln（1+x₁）+${e}^{{x}_{3}}$-ln（1+x₃）]
=[2${e}^{{x}_{2}}$-（${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{3}}$）]+[ln（1+x₁）（1+x₃）-2ln（1+x₂）]．
∵${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{3}}$＞2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{3}}}$=2${e}^{{x}_{2}}$，（1+x₁）（1+x₃）＜（ $\frac{2+{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）²=（1+x₂）²，
∴y₂-y₁＜y₃-y₂，∴|AB|＜|BC|；
（3）證明：由（1）可得ln（1+x）≤x，x=0時，取得等號．
即有e^x＞1+x，x＞0，
令x=$\frac{n}{2}$，可得${e}^{\frac{n}{2}}$＞1+$\frac{n}{2}$，即n${e}^{\frac{n}{2}}$＞n（1+$\frac{n}{2}$），
則$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，
即有$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3（\sqrt{e}）^{3}}$…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{3}{2}$＜$\frac{4}{e-1}$．
則有$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3（\sqrt{e}）^{3}}$+…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{4}{e-1}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用和不等式的證明，注意運用裂項相消和累加法求和，屬于中檔題．