Question

16．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）若PA=AD，求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥AD，PA⊥AB，從而AB⊥平面PAD，取CD中點O，連結(jié)MO、NO，推導(dǎo)出平面MON∥平面PAD，從而AB⊥平面MON，由此能證明MN⊥AB．
（2）由（1）得MN⊥CD，取PD中點G，連結(jié)AG、NG，則四邊形AMNG是平行四邊形，推導(dǎo)出MN⊥PD，由此能證明MN⊥平面PCD．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
取CD中點O，連結(jié)MO、NO，
∵M，N分別是AB，PC的中點，∴MO∥AD，NO∥PD，
∵MO∩NO=O，AD∩PD=D，
MO，NO?平面MON，AD、PD?平面PAD，
∴平面MON∥平面PAD，
∴AB⊥平面MON，∴MN⊥AB．
（2）∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD，
取PD中點G，連結(jié)AG、NG，則NG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
∵AM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，∴AM$\underset{∥}{=}$GN，∴四邊形AMNG是平行四邊形，MN∥AG，
∵PA=AD，G是PD中點，∴AG⊥PD，∴MN⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴MN⊥平面PCD．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．