Question

6．在△ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知sin（C-A）+sinB=$\frac{4}{3}$sinC，$\frac{1}{2}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{4}{3}$，則$\frac{a}$的取值范圍是[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC，（sinC≠0），求得cosA=$\frac{2}{3}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
由已知可得$\frac{cosB}{sinB}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]，求得sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1），利用正弦定理即可求得$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．

解答 解：∵sin（C-A）+sinB=$\frac{4}{3}$sinC，
⇒sin（C-A）+sin（C+A）=$\frac{4}{3}$sinC，
⇒2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC，（sinC≠0），
⇒cosA=$\frac{2}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∵$\frac{1}{2}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{4}{3}$，
⇒$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}cosB+\frac{2}{3}sinB}{sinB}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]，
⇒$\frac{cosB}{sinB}$=$±\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}B}}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]，
⇒sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）．
∴$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．
故答案為：[1，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．