分析 利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC,(sinC≠0),求得cosA=$\frac{2}{3}$,可得sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
由已知可得$\frac{cosB}{sinB}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$,$\frac{2\sqrt{5}}{5}$],求得sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$,1),利用正弦定理即可求得$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1,$\frac{\sqrt{5}}{3}$).
解答 解:∵sin(C-A)+sinB=$\frac{4}{3}$sinC,
⇒sin(C-A)+sin(C+A)=$\frac{4}{3}$sinC,
⇒2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC,(sinC≠0),
⇒cosA=$\frac{2}{3}$,
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
∵$\frac{1}{2}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{4}{3}$,
⇒$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}cosB+\frac{2}{3}sinB}{sinB}$∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{4}{3}$],
⇒$\frac{cosB}{sinB}$=$±\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}B}}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$,$\frac{2\sqrt{5}}{5}$],
⇒sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$,1).
∴$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1,$\frac{\sqrt{5}}{3}$).
故答案為:[1,$\frac{\sqrt{5}}{3}$).
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 3 |
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