6.在△ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,已知sin(C-A)+sinB=$\frac{4}{3}$sinC,$\frac{1}{2}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{4}{3}$,則$\frac{a}$的取值范圍是[1,$\frac{\sqrt{5}}{3}$).

分析 利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC,(sinC≠0),求得cosA=$\frac{2}{3}$,可得sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
由已知可得$\frac{cosB}{sinB}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$,$\frac{2\sqrt{5}}{5}$],求得sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$,1),利用正弦定理即可求得$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1,$\frac{\sqrt{5}}{3}$).

解答 解:∵sin(C-A)+sinB=$\frac{4}{3}$sinC,
⇒sin(C-A)+sin(C+A)=$\frac{4}{3}$sinC,
⇒2sinCcosA=$\frac{4}{3}$sinC,(sinC≠0),
⇒cosA=$\frac{2}{3}$,
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
∵$\frac{1}{2}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{4}{3}$,
⇒$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}cosB+\frac{2}{3}sinB}{sinB}$∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{4}{3}$],
⇒$\frac{cosB}{sinB}$=$±\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}B}}$∈[-$\frac{\sqrt{5}}{10}$,$\frac{2\sqrt{5}}{5}$],
⇒sinB∈[$\frac{\sqrt{5}}{3}$,1).
∴$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$∈[1,$\frac{\sqrt{5}}{3}$).
故答案為:[1,$\frac{\sqrt{5}}{3}$).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=3,a4+a5+a6=27,
(Ⅰ)求通項(xiàng)公式an
(Ⅱ)若bn=a2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,6),則該漸近線與圓(x-2)2+y2=16相交所得的弦長(zhǎng)為$\frac{16\sqrt{5}}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.用C(A)表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù),定義|A-B|=$\left\{\begin{array}{l}{C(A)-C(B),C(A)>C(B)}\\{C(B)-C(A),C(A)<C(B)}\end{array}\right.$.若A={1,2},B={x||x2+2x-3|=a},且|A-B|=1,則a=4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.若函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$x2-3x+3,則f′(2)=-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知f(x)是偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
(1)判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈[$\frac{1}{2}$,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.在△ABC中,已知tanA=$\frac{1}{4}$,tanB=$\frac{3}{5}$,且△ABC最大邊的長(zhǎng)為$\sqrt{17}$,則△ABC的最小邊為( 。
A.1B.$\sqrt{5}$C.$\sqrt{2}$D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.命題p:|x-m|<1成立的一個(gè)充分條件是q:1<x<2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,2].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.如圖,已知四邊形ABCD是矩形,PA⊥平面ABC,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).
(1)求證:MN⊥AB;
(2)若PA=AD,求證:MN⊥平面PCD.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案