Question

7．已知（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開式中常數(shù)項為1，則${∫}_{a}^{2}$（4x³+x）dx的值為$\frac{33}{2}$．

Answer 1

分析 利用二項式定理的通項公式，常數(shù)項就是找x的指數(shù)為零的項，求出第幾項，代入就可求出結(jié)論，需要分類討論，再根據(jù)定積分計算即可．

解答 解（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開式的通項公式為T_r+1=C₆^r（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）^ra^6-r，
其中（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）^r的展開式的通項公式為T_k+1=C_r^k（2^r-k）x^r-3k，0≤k，r≤6，
當r-3k=0時，展開式中只有常數(shù)項，
當k=0時，r=0，a⁶，
當k=1時，r=3，C₃¹（2^3-1）•C₆³a³，=240a³，
當k=2時，r=6，C₆²（2^6-2）=240，
∴a⁶+240+240a³=1，
解得a=-1，
∴${∫}_{a}^{2}$（4x³+x）dx=（x⁴+$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{-1}^{2}$=$\frac{33}{2}$，
故答案為：$\frac{33}{2}$．

點評 本題主要考查了二項式定理，定積分的計算，解決過程中的這種“先化簡再展開”的思想在高考題目中常有體現(xiàn)的．本題解題的關(guān)鍵是寫出通項，這是解這種問題的通法．