Question

12．以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知直線L的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）+8=0，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}k+kcosα}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}k+ksinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)且α∈R），若直線L上的點到圓C上的點的最短距離為6，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 首先，得到直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程，然后，借助于點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系求解即可．

解答 解：∵直線L的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）+8=0，
∴x-y+8$\sqrt{2}$=0，
∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}k+kcosα}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}k+ksinα}\end{array}\right.$，
∴（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²=k²，
圓心為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$k，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k），
圓心到直線的距離為：d=$\frac{|\sqrt{2}k+8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|k+8|=6+|k|，
∴k=-1，
實數(shù)k的值-1．

點評 本題重點考查了直線的極坐標(biāo)方程和普通方程互化、圓的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．