Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$（n∈N^*）．
（1）求證：{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項a_n；
（2）證明：對于n∈N^*，a₁•a₂•a₃•…•a_n$＜\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）在原遞推式的兩邊同時減1，取倒數(shù)，結合等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得到；
（2）由于$\frac{2n}{2n+1}$＜$\frac{2n+1}{2n+2}$，令S=a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{2n}{2n+1}$＜$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•$\frac{7}{8}$…$\frac{2n+1}{2n+2}$，兩邊乘以S，即可得證．

解答 證明：（1）由a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$（n∈N^*）．
可得a_n+1-1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$-1=$\frac{1-{a}_{n}}{2{a}_{n}-3}$，
即有$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-2，
則有{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是首項為-3，公差為2的等差數(shù)列，
即有$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-3-2（n-1），
化簡可得a_n=$\frac{2n}{2n+1}$；
（2）令S=a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{2n}{2n+1}$，
由于$\frac{2n}{2n+1}$＜$\frac{2n+1}{2n+2}$，
則S＜$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•$\frac{7}{8}$…$\frac{2n+1}{2n+2}$，
即有S²＜$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{2n}{2n+1}$•$\frac{2n+1}{2n+2}$
=$\frac{2}{2n+2}$=$\frac{1}{n+1}$，
即為S＜$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．
則原不等式成立．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查不等式的證明，注意運用真分數(shù)的特點：分子分母同時加一個正數(shù)，分數(shù)值增加，屬于中檔題．