Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為${S_n}，{a_1}=-\frac{1}{2}，{S_n}=-\frac{1}{{{S_{n-1}}+2}}（{n≥2}）$
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表達式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用條件，代入計算，可得S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表達式，運用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟進行證明．

解答 解：（1）S₁=-$\frac{1}{2}$，S₂，=-$\frac{2}{3}$，S₃=-$\frac{3}{4}$，S₄=-$\frac{4}{5}$
（2）猜想${S_n}=-\frac{n}{n+1}$
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
當n=1時，結(jié)論顯然正確．
假設(shè)n=k，k∈N⁺時結(jié)論正確，即${S_k}=-\frac{k}{k+1}$
則當n=k+1時，${S_{k+1}}=-\frac{1}{{2+{S_k}}}=-\frac{1}{{2-\frac{k}{k+1}}}=-\frac{k+1}{k+2}$，
∴n=k+1結(jié)論正確．
故對任意正整數(shù)n，都有${S_n}=-\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．