Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是邊長為4的等邊三角形，D為AB邊中點，且CC₁=2AB．
（1）求證：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱錐D-CAB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合面面垂直的判斷得答案； 
（2）連結(jié)BC₁，交B₁C于點O，連結(jié)DO．由三角形中位線的性質(zhì)得到DO∥AC₁，再由線面平行的判定定理得答案；
（3）由CC₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁，得BB₁⊥平面ABC，從而求得BB₁ 為三棱錐D-CBB₁ 的高，把三棱錐D-CAB₁的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐B₁-BCD的體積得答案．

解答 （1）證明：∵CC₁⊥平面ABC，
又CC₁?平面C₁CD，
∴平面C₁CD⊥平面ABC； 
（2）證明：連結(jié)BC₁，交B₁C于點O，連結(jié)DO．
則O是BC₁的中點，
DO是△BAC₁的中位線．
∴DO∥AC₁．
∵DO?平面CDB₁，
AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（3）解：∵CC₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面ABC．
∴BB₁ 為三棱錐D-CBB₁ 的高．
${V}_{D-CA{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-CBD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×8=\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
∴三棱錐D-CAB₁的體積為$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．