Question

8．已知定義在{x|x≠k，k∈Z}上的奇函數(shù)f（x）對定義域內的任意實數(shù)x滿足：f（-x）=f（x+2），且1＜x＜2時，f（x）=x³-x，則方程f（x）=6log₁₂x（x＞2）的解的個數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由已知結合函數(shù)的性質求得函數(shù)的周期及函數(shù)在部分區(qū)間內的解析式，畫出函數(shù)在一個周期內的大致圖象，數(shù)形結合求得方程f（x）=6log₁₂x（x＞2）的解的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）為奇函數(shù)，且f（-x）=f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）．
∴函數(shù)f（x）的周期為4，
設x∈（-1，0），則x+2∈（1，2），
∴f（x）=-f（x+2）=-[（x+2）³-（x+2）]=-（x+2）³+（x+2）=-x³-6x²-11x-6，
對于函數(shù)f（x）=x³-x（1＜x＜2），
由f′（x）=3x²-1=0，可得f′（x）＞0（1＜x＜2），
∴f（x）在（1，2）上為增函數(shù)；
對于函數(shù)f（x）=-x³-6x²-11x-6（-1＜x＜0），
由f′（x）=-3x²-12x-11，可得f′（x）＜0（-1＜x＜0），
∴f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)．
結合對稱性可得函數(shù)f（x）在一個周期內的圖象如圖：

∵[2，12]包含的函數(shù)的兩個半周期，則函數(shù)f（x）的圖象與y=6log₁₂x（x＞2）的圖象有4個交點．
即方程f（x）=6log₁₂x（x＞2）的解的個數(shù)為4．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性、奇偶性及函數(shù)解析式的求法，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，綜合性強，難度較大．