Question

4．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=4ax³+2bx，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，求出a，b，c，由此能求出y=f（x）的解析式．
（2）求出f′（x）=10x³-9x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出y=f（x）的單調(diào)遞區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），
且在x=1處的切線方程是y=x-2，
∴f′（x）=4ax³+2bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c=1}\\{{f}^{'}（1）=4a+2b=1}\\{f（1）=a+b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{5}{2}$，b=-$\frac{9}{2}$，c=1，
∴y=f（x）的解析式為f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}$-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+1．
（2）f′（x）=10x³-9x，
由f′（x）=10x³-9x＞0，得-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$＜x＜0或x＞$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
由f′（x）=10x³-9x＜0，得x＜-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$或0＜x＜$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，0），（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$），（0，$\frac{3\sqrt{10}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．