Question

10．已知：P為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（a＞0）上一點(diǎn)，Q為圓O：x²+y²=4上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＞0），$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0．
（1）求a的值；
（2）若λ=$\frac{5}{4}$時(shí)，求四邊形PF₁F₂Q的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\overrightarrow{{F}_{1}P}$∥$\overrightarrow{OQ}$，則OM為△F₁PF₂的中位線，由$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，丨PM丨=丨PF₂丨=丨QM丨，丨QM丨=x，丨OM丨=2-x，則丨PF₁丨=2丨OM丨=2（2-x），丨PF₂丨=2丨QM丨=2x，則丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=4，即可求得a的值；
（2）由（1）求得橢圓方程：由丨OQ丨=2，則求得丨PF₁丨，丨PF₂丨，可得∠PF₂F₁=$\frac{π}{2}$，求得直線OQ的斜率，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△PQF₂的面積，△PF₂F₁的面積，即可求得四邊形PF₁F₂Q的面積．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$∥$\overrightarrow{OQ}$，連接PF₂交OQ于M點(diǎn)，
∴OM為△F₁PF₂的中位線，
∴M為PF₂的中點(diǎn)，
由$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，
則PQ⊥QF₂，
∴丨PM丨=丨PF₂丨=丨QM丨，
由丨OQ丨=2，設(shè)丨QM丨=x，丨OM丨=2-x，
∴丨PF₁丨=2丨OM丨=2（2-x），丨PF₂丨=2丨QM丨=2x，
由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=4，
則a=2，
∴a的值為2；
（2）由（1）可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OQ}$，則丨PF₁丨=$\frac{5}{2}$，丨PF₂丨=$\frac{3}{2}$，丨F₁F₂丨=2，
則∠PF₂F₁=$\frac{π}{2}$，
tan∠PF₁F₂=$\frac{3}{4}$，則直線OQ的方程：y=$\frac{3}{4}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
則丨QF₂丨=$\sqrt{（\frac{8}{5}-1）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，則丨QF₂丨=$\sqrt{丨P{F}_{2}{丨}^{2}-丨PQ{丨}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
△PQF₂的面積S₁=$\frac{1}{2}$×丨QF₂丨×丨QF₂丨=$\frac{9}{20}$，
∴△PF₂F₁的面積S₂=$\frac{1}{2}$×丨F₁F₂丨×丨PF₂丨=$\frac{3}{2}$，
∴四邊形PF₁F₂Q的面積S=S₁+S₂=$\frac{9}{20}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{39}{20}$，
四邊形PF₁F₂Q的面積為$\frac{39}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及求法，向量的共線定理，考查橢圓定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．