Question

4．微信紅包是一款可以實(shí)現(xiàn)收發(fā)紅包、查收記錄和提現(xiàn)的手機(jī)應(yīng)用．某網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營商對(duì)甲、乙兩個(gè)品牌各5種型號(hào)的手機(jī)在相同環(huán)境下，對(duì)它們搶到的紅包個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如表數(shù)據(jù)：

型號(hào) 手機(jī)品牌	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ
甲品牌（個(gè)）	4	3	8	6	12
乙品牌（個(gè)）	5	7	9	4	3

（Ⅰ）如果搶到紅包個(gè)數(shù)超過5個(gè)的手機(jī)型號(hào)為“優(yōu)”，否則“非優(yōu)”，請(qǐng)據(jù)此判斷是否有85%的把握認(rèn)為搶到的紅包個(gè)數(shù)與手機(jī)品牌有關(guān)？
（Ⅱ）如果不考慮其它因素，要從甲品牌的5種型號(hào)中選出3種型號(hào)的手機(jī)進(jìn)行大規(guī)模宣傳銷售．
①求在型號(hào)Ⅰ被選中的條件下，型號(hào)Ⅱ也被選中的概率；
②以X表示選中的手機(jī)型號(hào)中搶到的紅包超過5個(gè)的型號(hào)種數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
下面臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測(cè)值，利用觀測(cè)值同臨界值表進(jìn)行比較，K²=0.4＜2.706，可得到?jīng)]有足夠的理由認(rèn)為手機(jī)系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少有關(guān)；
（Ⅱ）由題意求得X的取值1，2，3，運(yùn)用排列組合的知識(shí)，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式計(jì)算即可得到（X）．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下：

紅包個(gè)數(shù) 手機(jī)品牌	優(yōu)	非優(yōu)	合計(jì)
甲品牌（個(gè)）	3	2	5
乙品牌（個(gè)）	2	3	5
合計(jì)	5	5	10

…（2分）
${K^2}=\frac{{10{{（{4-9}）}^2}}}{5×5×5×5}=\frac{10×25}{25×25}=0.4＜2.072$，
所以沒有85%的理由認(rèn)為搶到紅包個(gè)數(shù)與手機(jī)品牌有關(guān)．                …（4分）
（Ⅱ）①令事件C為“型號(hào) I被選中”；事件D為“型號(hào) II被選中”，
則$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}\;，\;P（CD）=\frac{C_3^1}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，
所以$P（\left.D\right|C）=\frac{P（CD）}{P（C）}=\frac{1}{2}$．                                        …（6分）
②隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，…（7分）
$P（{X=1}）=\frac{C_3^1•C_2^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$；
$P（{X=2}）=\frac{C_2^1C_3^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$；
$P（{X=3}）=\frac{C_3^3}{C_5^3}=\frac{1}{10}$．   …（10分）
故X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴數(shù)學(xué)期望E（X），$E（X）=1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}=1.8$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查超幾何分布的計(jì)算公式、分布列和數(shù)學(xué)期望及其排列與組合的計(jì)算公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．