Question

19．已知適合不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3．
（1）求p的值；
（2）求x的范圍．

Answer 1

分析 （1）由x的最大值為3，故x-3＜0，原不等式等價于|x²-4x+p|-x+3≤5，即-x-2≤x²-4x+p≤x+2，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+p-2≤0}\\{{x}^{2}-3x+p+2≥0}\end{array}\right.$解的最大值為3，利用一元二次不等式的解集與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（2）不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5即不等式|x²-4x+8|+|x-3|≤5，不等式化為：化為：x²-5x+6≤0，解出即可得出．

解答 解：（1）∵x的最大值為3，故x-3＜0，原不等式等價于|x²-4x+p|-x+3≤5，
即-x-2≤x²-4x+p≤x+2，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+p-2≤0}\\{{x}^{2}-3x+p+2≥0}\end{array}\right.$解的最大值為3，
設(shè) x²-5x+p-2=0 的根分別為x₁和x₂，x₁＜x₂，
x²-3x+p+2=0的根分別為x₃和 x₄，x₃＜x₄．
則x₂=3，或x₄=3．
若x₂=3，則9-15+p-2=0，p=8，若x₄=3，則9-9+p+2=0，p=-2．
當(dāng)p=-2時，原不等式無解，檢驗得：p=8 符合題意，故p=8．
（2）不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5即不等式|x²-4x+8|+|x-3|≤5，
∴不等式化為：x²-4x+8-（x-3）≤5，化為：x²-5x+6≤0，解得2≤x≤3．
∴x的取值范圍是[2，3]．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法與性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．