Question

15．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（1）證明：平面PDA⊥平面PBA；
（2）若AB=2，BC=$\sqrt{2}$，PA=PB，四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，求BD與平面PAD所成的角．

Answer 1

分析 （1）證明：DA⊥側(cè)面PAB，即可證明平面PDA⊥平面PBA；
（2）設(shè)AB的中點為O，連接PO，則PO⊥AB，若AB=2，BC=$\sqrt{2}$，PA=PB，四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，可得△PAB是等邊三角形，設(shè)PA中點為H，連接BH，DH，則BH⊥AP，確定∠BDH為BD與平面PAD所成的角，即可求BD與平面PAD所成的角．

解答 （1）證明：由已知DA⊥AB，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，
∴DA⊥側(cè)面PAB，
∵DA?平面PDA，
∴平面PDA⊥平面PBA；
（2）解：設(shè)AB的中點為O，連接PO，則PO⊥AB，
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD，
∴V=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×PO$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴PO=$\sqrt{3}$，
∴△PAB是等邊三角形，
設(shè)PA中點為H，連接BH，DH，則BH⊥AP 
由（1）平面PDA⊥平面PBA，∴BH⊥平面PDA，
∴∠BDH為BD與平面PAD所成的角．
在Rt△BHD中，BH=DH=$\sqrt{3}$，∴∠BDH=45°，
∴BD與平面PAD所成的角為45°

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．