Question

12．霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài)，PM2.5被認(rèn)為是造成霧霾天氣的“元兇”，PM2.5日均值越小，空氣質(zhì)量越好．國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的PM2.5日均值（微克/立方米）與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如表：

PM2.5日均值 （微克/立方米）	0--35	35--75	75--115	115--150	150--250	250以上
空氣質(zhì)量等級	1級優(yōu)	2級良	3級 輕度污染	4級 中度污染	5級 重度污染	6級 嚴(yán)重污染

由某市城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得4月份某5天甲、乙兩城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示，如圖所示．
（Ⅰ）試根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，分別寫出兩城區(qū)的PM2.5日均值的中位數(shù)，并從中位數(shù)角度判斷哪個城區(qū)的空氣質(zhì)量較好？
（Ⅱ）考慮用頻率估計概率的方法，試根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計甲城區(qū)某一天空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的概率；
（Ⅲ）分別從甲、乙兩個城區(qū)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，試求這兩城區(qū)空氣質(zhì)量等級相同的概率．

Answer 1

分析 （I）由莖葉圖可知甲乙兩個城市5天數(shù)據(jù)由小到大排列，求出中位數(shù)，比較兩個中位數(shù)的大小可得哪個城市的空氣質(zhì)量較好；
（II）由莖葉圖可知在抽取的五天中，甲城市空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的頻數(shù)為3，進而得到頻率，進而估算出概率；
（Ⅲ）從甲城市和乙城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，共有25種不同情況，統(tǒng)計這兩個城市空氣質(zhì)量等級相同的情況個數(shù)，代入古典概型概率計算公式可得答案．

解答 解：（Ⅰ）甲城市5天數(shù)據(jù)由小到大排列：
59，83，87，95，116，
乙城市5天數(shù)據(jù)由小到大排列：
66，68，85，88，98，
∴甲的中位數(shù)是87，乙的中位數(shù)是85，
∴乙城市的空氣質(zhì)量較好．
（Ⅱ）根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的頻率為$\frac{3}{5}$，
則估計甲城市某一天的空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的概率為$\frac{3}{5}$．        
（Ⅲ）設(shè)事件A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個，這兩個城市的空氣質(zhì)量等級相同，
由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測數(shù)據(jù)中分別任取一個，共有25個結(jié)果，分別記為：
（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）
（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）
（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）
（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98）
（116，66），（116，68），（116，85），（116，88）（116，98），
其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級相同的包括同為2級良的為甲59，乙66，乙68；
同為3級輕度污染的為甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；則空氣質(zhì)量等級相同的為：
（59，66），（59，68），
（83，85），（83，88），（83，98），
（87，85），（87，88），（87，98），
（95，85），（95，88），（95，98），
共11個結(jié)果．
所以這兩個城市空氣質(zhì)量等級相同的概率為$\frac{11}{25}$．

點評 本題考查等可能事件概率的求法，考查莖葉圖，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題．