Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．

(1)函數(shù)f(x)＝x是否屬于集合M？說(shuō)明理由；

(2)設(shè)f(x)∈M，且T＝2，已知當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)＝x＋lnx，當(dāng)－3<x<－2時(shí)，求f(x)的解析式．

Answer 1

 (1)假設(shè)函數(shù)f(x)＝x屬于集合M，則存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即x＋T＝Tx成立．令x＝0，得T＝0，與題目矛盾．故f(x)∉M.

(2)f(x)∈M，且T＝2，則對(duì)任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)．

設(shè)－3<x<－2，則1<x＋4<2.

又f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)，

且當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)＝x＋lnx，

故當(dāng)－3<x<－2時(shí)，f(x)＝[x＋4＋ln(x＋4)]．