Question

7．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2x-1}{x}$（a∈R），g（x）=x²e^mx（m∈R），e=2.71828…）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線4x-y=0垂直，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，且m∈[-2，-1]，求證：對(duì)任意x₁、x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題等價(jià)于f （x）_min≥g （x）_max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出其最值，證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}}$，
由已知，f′（2）=$\frac{2a+1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，∴a=-1，∴f′（x）=$\frac{-x+1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）≥0，f （x）是增函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）≤0，f （x）是減函數(shù)，
∴函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間是[1，+∞）．
（2“對(duì)任意x₁、x₂∈[1，2]，f （x₁）≥g （x₂）恒成立”等價(jià)于“x∈[1，2]，f （x）_min≥g （x）_max”
∵a＞0，x∈[1，2]，∴f′（x）＞0，故f （x）在[1，2]上是增函數(shù)
∴f （x）_min=f （1）=1，
g′（x）=（mx+2）xe^mx，
∵m∈[-2，-1]，∴-$\frac{2}{m}$∈[1，2]，
∴在[1，-$\frac{2}{m}$]上，g′（x）≥0，在（-$\frac{2}{m}$，2]上，g′（x）＜0，
因此，g （x）在[1，-$\frac{2}{m}$]上單調(diào)遞增，在（-$\frac{2}{m}$，2]上單調(diào)遞減，
故g（x）的最大值是g（-$\frac{2}{m}$）=$\frac{4}{{{m}^{2}e}^{2}}$＜1，
∴對(duì)任意x₁、x₂∈[1，2]，f （x₁）≥g （x₂）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．