Question

4．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=$\sqrt{6}$，M是CC₁的中點，則異面直線AB₁與A₁M所成角為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 連接AC₁，利用三角函數(shù)計算結(jié)合題中數(shù)據(jù)證出∠AC₁A₁=∠A₁MC₁，從而矩形AA₁C₁C中A₁M⊥AC₁．再利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出A₁M⊥平面AB₁C₁，從而可得AB₁⊥A₁M，由此即可得到異面直線AB₁與A₁M所成的角．

解答 解：連接AC₁
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=$\sqrt{6}$，
∴A₁C₁=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，
Rt△A₁C₁M中，tan∠A₁MC₁=$\sqrt{2}$；
Rt△AA₁C₁中，tan∠AC₁A₁=$\sqrt{2}$
∴tan∠MA₁C₁=tan∠AC₁A₁ 即∠AC₁A₁=∠A₁MC₁     
可得矩形AA₁C₁C中，A₁M⊥AC₁
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁且AC₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁，
∵A₁M?面AA₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁M，
又AC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁M⊥平面AB₁C₁
結(jié)合AB₁?平面AB₁C₁，得到AB₁⊥A₁M，
即異面直線AB₁與A₁M所成的角是$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題在直三棱柱中求異面直線所成角的大小，著重考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化等知識，屬于中檔題．