Question

10．已知直線m：x=-4，圓M：x²+y²+2x-8=0，P為平面內一動點，若點P到圓心M的距離是到直線m距離的一半．
（1）動點P的軌跡是什么曲線？寫出該曲線的標準方程；
（2）設動點P的軌跡為曲線F，過點E（4，-3）作直線l與曲線F交于C、D兩點，并與直線x-y-1=0相交于點Q，問：$\frac{1}{|EC|}$、$\frac{1}{|EQ|}$、$\frac{1}{|ED|}$是否成等差數(shù)列？

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），分別求出P到圓心M和直線m的距離，列方程化簡即可得出P的軌跡方程；
（2）設出直線l的參數(shù)方程，代入直線x-y-1=0和曲線F的方程，運用韋達定理，結合參數(shù)的幾何意義得出$\frac{1}{|EC|}$+$\frac{1}{|ED|}$，$\frac{1}{|EQ|}$，利用等差數(shù)列的中項，即可得到結論．

解答 解：（1）圓M的圓心坐標為M（-1，0）．
設P（x，y），P到M的距離為d₁=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
P到直線m的距離d₂=|x+4|，
∴2$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=|x+4|，
化簡得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴動點P的軌跡是橢圓，標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=-3+tsinα}\end{array}\right.$，t為參數(shù)．
把直線l的參數(shù)方程代入x-y-1=0得6+tcosα-tsinα=0，
∴t=$\frac{6}{sinα-cosα}$，即|EQ|=$\frac{6}{sinα-cosα}$，∴$\frac{1}{|EQ|}$=$\frac{sinα-cosα}{6}$．
把直線l的參數(shù)方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得（3+sin²α）t²+24（cosα-sinα）t+72=0，
∴t₁+t₂=$\frac{24（sinα-cosα）}{3+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{72}{3+si{n}^{2}α}$，
∴$\frac{1}{|EC|}+\frac{1}{|ED|}$=$\frac{1}{{t}_{1}}$+$\frac{1}{{t}_{2}}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{sinα-cosα}{3}$．
∴$\frac{1}{|EC|}+\frac{1}{|ED|}$=$\frac{2}{|EQ|}$．
∴$\frac{1}{|EC|}$、$\frac{1}{|EQ|}$、$\frac{1}{|ED|}$成等差數(shù)列．

點評 本題考查了軌跡方程的求解，參數(shù)方程的幾何意義及應用，屬于中檔題．