Question

某校高三年段共有1000名學(xué)生，將其按專(zhuān)業(yè)發(fā)展取向分成普理、普文、藝體三類(lèi)，如圖是這三類(lèi)的人數(shù)比例示意圖．為開(kāi)展某項(xiàng)調(diào)查，采用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為10的樣本．
（Ⅰ）試求出樣本中各個(gè)不同專(zhuān)業(yè)取向的人數(shù)；
（Ⅱ）在樣本中隨機(jī)抽取3人，并用ξ表示這3人中專(zhuān)業(yè)取向?yàn)樗圀w的人數(shù)．試求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意，先求出該校學(xué)生普理生、普文生、藝體生的人數(shù)比例，再求10人的樣本中普理生、普文生、藝體生的人數(shù)．
（Ⅱ）由題意ξ=0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，得該校學(xué)生普理生、普文生、藝體生的人數(shù)比例為2：2：1，
∴10人的樣本中普理生、普文生、藝體生的人數(shù)分別為4人，4人，2人．
（Ⅱ）由題意ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=

C 3 8 C 0 2

C 3 10

=

7

15

，
P（ξ=1）=

C 2 8 C 1 2

C 3 10

=

7

15

，
P（ξ=2）=

C 2 8 C 2 2

C 3 10

=

1

15

，
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	7 15	7 15	1 15

∴Eξ=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

，
Dξ=(0-

3

5

)2×

7

15

+(1-

3

5

)2×

7

15

+(2-

3

5

)2×

1

15

=

28

75

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．