Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$（a∈R），且x∈R時(shí)，總有f（-x）=-f（x）成立．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求f（x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可求f（x）在[0，2]上的值域．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴$\frac{a-{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$=-$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，
即 $\frac{a•{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-a}{1+{2}^{x}}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$．
（2）函數(shù)f（x）為 R 上的減函數(shù)，
∵f（x）的定義域?yàn)?nbsp;R，
∴任取x ₁，x ₂∈R，且x ₂＞x ₁，
∴f（x ₂）-f（x ₁）=$\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{1+{2}^{{x}_{2}}}$$-\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{1+{2}^{{x}_{1}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$
∵x ₂＞x ₁，∴${2}^{{x}_{2}}$$＞{2}^{{x}_{2}}$＞0．
∴f（x ₂）-f（x ₁）＜0即f（x ₂）＜f（x ₁）．
∴函數(shù)f（x）為 R 上的減函數(shù)．----（11分）
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在[0，2]上的為減函數(shù)，
∴f（2）≤f（x）≤f（0），
即-$\frac{3}{5}$≤f（x）≤0，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-$\frac{3}{5}$，0]----------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．