Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，t為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），當(dāng)t為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，實(shí)數(shù)x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，求|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，由此得到關(guān)于λ，t的方程解之；
（Ⅱ）求出$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的數(shù)量積，然后將所求平方，轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的模和數(shù)量積的運(yùn)算，集合二次函數(shù)求最值．

解答 解：（Ⅰ）A，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，
即$\frac{1}{3}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=λ\overrightarrow a+（1-λ）t\overrightarrow b$，則$λ=\frac{1}{3}，\;\;t=\frac{1}{2}$…（4分）
（Ⅱ）由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|•cos{120°}=-\frac{1}{2}$，則$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b{|^2}={\overrightarrow a^2}+{x^2}•{\overrightarrow b^2}-2x\overrightarrow a•\overrightarrow b={x^2}+x+1$，
因?yàn)?x∈[-1，\frac{1}{2}]$，當(dāng)$x=-\frac{1}{2}$時(shí)，$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b|$的最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（5分）
當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b|$的最大值為$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…（6分）
所以$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b|$的取值范圍是$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{7}}}{2}]$…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量共線以及數(shù)量積公式的運(yùn)用．