Question

3．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₁+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₁²+…+a_n²等于$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 利用S_n與a_n關(guān)系，得出a_n²=4^n-1，得出數(shù)列{a_n²}是以4為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1 ①
∴a₁+a₂+…+a_n+1+a_n+1=2ⁿ⁺¹-1②，
②-①得a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2^n-1，n=1也成立．
即有a_n²=4^n-1，
數(shù)列{a_n²}是以4為公比的等比數(shù)列，
由a₁=2-1=1，得a₁²=1，
由等比數(shù)列求和公式得a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．
故答案為：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了S_n與a_n關(guān)系的具體應(yīng)用，等比數(shù)列的定義，判斷，求和公式，屬于中檔題．