Question

2．等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）若a₁=1，求等比數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a₃-a₂=3，求等比數(shù)列{a_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析 設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，分別由條件可得公比和首項，分別代入通項公式和求和公式可得．

解答 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
（Ⅰ）當a₁=1時，由S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列可得2S₃=S₁+S₂，
∴2（1+q+q²）=1+1+q，解得q=-$\frac{1}{2}$
∴等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（Ⅱ）由S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列可得2S₃=S₁+S₂，
∴2（a₁+a₂+a₃）=a₁+a₁+a₂，
∵a₃-a₂=3，∴a₃=a₂+3，
∴2（a₁+a₂+a₂+3）=a₁+a₁+a₂，
化簡可得a₂=-2，∴a₃=a₂+3=1，
∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$-\frac{1}{2}$，∴a₁=4，
∴等比數(shù)列{a_n}前n項和S_n=$\frac{4×[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{8}{3}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，求出數(shù)列的首項和公比是解決問題的關鍵，屬基礎題．