Question

4．（文）設(shè)F是雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右焦點(diǎn)，$P（\frac{a^2}{c}，\frac{{\sqrt{2}a}}{2}）$為直線上一點(diǎn)，直線垂直于x軸，垂足為M，若△PMF等腰三角形，則E的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知：P在雙曲線的準(zhǔn)線上，由△PMF等腰三角形，c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，由b²=c²-a²，即可求得題意的離心率．

解答 解：由題意可知：直線與雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由△PMF等腰三角形，
則c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，整理得：b²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ac，兩邊平方可知：b⁴=$\frac{1}{2}$a²c²，
由b²=c²-a²，2c⁴-5a²c²+2a⁴=0
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，則2e⁴-5e²+2=0，解得：e²=2或e²=$\frac{1}{2}$，
由e＞1，則e=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．