Question

設(shè)f（x）=x²+ax+b（a、b∈R，x∈R），若直線y=k與f（x）圖象相交于點(diǎn)A、B，直線y=k+8與f（x）圖象相交于點(diǎn)C、D，則|AB|-2|CD|的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先通過二次函數(shù)的圖象簡(jiǎn)化問題，再求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定最大值．

解答： ∵f（x）=x²+ax+b（a、b∈R，x∈R）與g（x）=x²的開口大小是一樣的，且方向相同，
∴|AB|-2|CD|的最大值與g（x）=x²與直線y=k和直線y=k+8形成的最大值是相同的，
令k=x²解得，x=±

k

，則|AB|=2

k

，同理|CD|=2

k+8

（k＞0）；
|AB|-2|CD|=2

k

-4

k+8

=2（

k

-2

k+8

），
令h（k）=

k

-2

k+8

，則h′（k）=

1

2

（

1

k

-

2

k+8

）
=

1

2

k+8 -2 k

k k+8

，
則當(dāng)k∈（0，

8

3

）時(shí)，h′（k）＞0，h（k）單調(diào)遞增；
當(dāng)k∈（

8

3

，+∞）時(shí)，h′（k）＜0，h（k）單調(diào)遞減；
則|AB|-2|CD|的最大值為：
2（

8 3

-2

8 3 +8

）=-4

6

．
故答案為：-4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)化中轉(zhuǎn)化的思想，從而大大減化的運(yùn)算，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．