Question

在各項為正的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項和S_n滿足S_n=

1

2

(an+

1

an

)
（1）求a₁，a₂，a₃的值為

 

；
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式

 

；
（3）S_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分別令n=1，2，3，利用遞推思想能求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式為：an=

n

-

n-1

．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）由a_n=

n

-

n-1

，利用裂項求和法能求出S_n．

解答： 解：（1）∵在各項為正的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項和S_n滿足S_n=

1

2

(an+

1

an

)，
∴a₁=S1=

1

2

(a1+

1

a1

)，a₁＞0，解得a₁=1；
S2=1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，
即a22+2a2-1=0，
解得a2=

2

-1或a2=-

2

-1（舍）；
S3=

2

+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，
即a32+2

2

a3-1=0，
解得a3=

3

-

2

，或a3=-

3

-

2

（舍）．
故答案為：1，

2

-1，

3

-

2

．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式為：an=

n

-

n-1

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時，a1=

1

-

0

=1，成立；
②假設(shè)n=k時成立，即ak=

k

-

k-1

．
則n=k+1時，S_k+1=

k

+a_k+1=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)，
即ak+12+2

k

ak+1-1=0，
解得ak+1=

k+1

-

k

，或ak+1=-

k+1

-

k

（舍），
∴n=k+1時也成立．
由①②，得a_n=

n

-

n-1

．
故答案為：

n

-

n-1

．
（3）∵a_n=

n

-

n-1

，
∴S_n=1+

2

-

1

+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

=

n

-1．
故答案為：

n

-1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意合理猜想和裂項求和法的合理運(yùn)用．