Question

5．已知函數(shù)f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$+x）（a＞0，a≠1）為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)：f（-x）+f（x）=0，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)解出即可得出．
（2）由（1）可得：y=f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），∴$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$=a^y，$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x=a^-y，解得x=$\frac{{a}^{y}-{a}^{-y}}{2}$，把x與y互換即可得出．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$+x）（a＞0，a≠1）為奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$-x）+log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$+x）=log_am=0，解得m=1．
經(jīng)過驗證，滿足題意，
∴m=1．
（2）由（1）可得：y=f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$=a^y，$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x=a^-y，解得x=$\frac{{a}^{y}-{a}^{-y}}{2}$，
把x與y互換可得：y=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$，即f^-1（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$，即為原函數(shù)的反函數(shù)．

點評 本題考查了對數(shù)與指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)、反函數(shù)的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．