Question

4．已知點A（-3，-2）在拋物線C：x²=2py的準線上，過點A的直線與拋物線C在第二象限相切于點B，記拋物線C的焦點為F，則直線BF的斜率是$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意先求出準線方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線方程，設出切點B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），對拋物線方程求導，可得切線的斜率，再由兩點的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐標，運用兩點求斜率公式即可得到所求直線BF的斜率．

解答 解：∵點A（3，-2）在拋物線C：x²=2py的準線上，
即準線方程為：y=-2，
∴p＞0，則-$\frac{p}{2}$=-2，即p=4，
∴拋物線C：x²=8y，即$y=\frac{1}{8}{x}^{2}$．
設B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），
由y=$\frac{1}{8}{x}^{2}$的導數(shù)為y′=$\frac{1}{4}x$，
可得切線的斜率為k=$\frac{m}{4}$，
即有$\frac{m}{4}=\frac{\frac{{m}^{2}}{8}+2}{m+3}$，化為m²+6m-16=0，
解得m=-8，或m=2（舍去），
可得B（-8，8），又F（0，2），
則直線BF的斜率是$\frac{8-2}{-8}=-\frac{3}{4}$．
故答案為：$-\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查拋物線的方程和性質，同時考查直線與拋物線相切，運用導數(shù)求切線的斜率等，是中檔題．