Question

4．已知點(diǎn)A（-3，-2）在拋物線C：x²=2py的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線C在第二象限相切于點(diǎn)B，記拋物線C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率是$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意先求出準(zhǔn)線方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線方程，設(shè)出切點(diǎn)B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），對(duì)拋物線方程求導(dǎo)，可得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)求斜率公式即可得到所求直線BF的斜率．

解答 解：∵點(diǎn)A（3，-2）在拋物線C：x²=2py的準(zhǔn)線上，
即準(zhǔn)線方程為：y=-2，
∴p＞0，則-$\frac{p}{2}$=-2，即p=4，
∴拋物線C：x²=8y，即$y=\frac{1}{8}{x}^{2}$．
設(shè)B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）（m＜0），
由y=$\frac{1}{8}{x}^{2}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{4}x$，
可得切線的斜率為k=$\frac{m}{4}$，
即有$\frac{m}{4}=\frac{\frac{{m}^{2}}{8}+2}{m+3}$，化為m²+6m-16=0，
解得m=-8，或m=2（舍去），
可得B（-8，8），又F（0，2），
則直線BF的斜率是$\frac{8-2}{-8}=-\frac{3}{4}$．
故答案為：$-\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線與拋物線相切，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率等，是中檔題．